一、总方法：三步推导任何运放电路
上一页讲过两条黄金规则：虚短（V+ ≈ V−）和虚断（输入端无电流）。学会运算电路，其实只需要反复使用同一个三步流程：
- 判断是不是负反馈：输出是否接回了反相端 V−？如果是，两条规则可以用；否则要重新判断。
- 利用虚短：V+ 和 V− 电压相等。把同相端的电压找出来（有时就是输入信号，有时是分压）。
- 利用虚断，列电流方程：流过输入电阻的电流，等于流过反馈电阻的电流。解出 Vout。
类比：运放电路就像一个"自动平衡的天平"。虚短是天平的"两端高度一致"，虚断是"天平上没有额外的重物"。只要两个条件成立，就能用简单的比例关系算出输出——这就是所有运算的秘密。
学习建议：下面每一节都会先写出电路结构，再用三步推导出公式，最后给一个数字例子和计算器。请一边看一边自己在纸上画一遍，比只看公式记得牢得多。
二、同相放大：信号从 + 端进，输出同相
结构：信号 Vin 接在同相端 V+。输出通过 Rf 接回反相端 V−，另一端通过 Rg 接地。
2.1 三步推导
- 有负反馈（输出接回 V−），两条规则可用。
- 虚短：V+ = V− = Vin。
- 虚断：Vin 通过 Rg 到地的电流 = 流过 Rf 的电流。Rg 上的电流是 Vin / Rg，所以 Vin/Rg = (Vout − Vin)/Rf。
整理得：
Vout = (1 + Rf / Rg) × Vin
增益 = 1 + Rf/Rg，永远 ≥ 1，并且与输入同相（信号方向不变）
2.2 例子
Rg = 1 kΩ，Rf = 10 kΩ，则增益 = 1 + 10/1 = 11 倍。输入 0.5 V，输出 = 5.5 V。
同相放大的优点：输入阻抗极高（信号源几乎不被"吸"走电流），这是它被广泛用于传感器信号放大的原因。它的缺点是增益不能小于 1。
2.3 动手拨一拨：同相放大的传输特性
横轴是输入电压，纵轴是输出电压。直线的斜率就是增益。注意：超出电源轨（±12 V）后，输出会被"顶"住，不再继续增加。
增益 1 + Rf/Rg-
理论输出-
实际输出（限幅后）-
三、反相放大：信号从 − 端进，输出反相
结构：信号 Vin 通过 Rin 接到反相端 V−。输出通过 Rf 接回 V−。同相端 V+ 直接接地。
3.1 三步推导
- 负反馈成立，两条规则可用。
- 虚短：V− = V+ = 0 V。反相端被"钉"在地电位，称为虚地。
- 虚断：流过 Rin 的电流 = 流过 Rf 的电流。Vin/Rin = (0 − Vout)/Rf，所以 Vout = −(Rf/Rin) × Vin。
Vout = −(Rf / Rin) × Vin
增益 = −Rf/Rin，负号表示反相；增益可以大于 1，也可以小于 1（例如 Rf 比 Rin 小时）
3.2 例子
Rin = 10 kΩ，Rf = 100 kΩ，增益 = −10。输入 0.2 V，输出 = −2 V。输入 −0.5 V，输出 = +5 V。
"虚地"的直观理解：反相端被运放"按"在 0 V 附近，就像一个被按住的水位，它不会真的接地，却等效于地。电流就从输入端，经过 Rin 流向"虚地"，再由 Rf 从"虚地"流向输出。这就是反相放大的本质。
反相与同相怎么选？需要反相（负号）或希望信号电流有通路到地时，用反相放大；需要高输入阻抗、增益不小于 1 时，用同相放大。
3.3 动手拨一拨：反相放大的传输特性
增益 −Rf/Rin-
理论输出-
实际输出（限幅后）-
四、电压跟随器：增益为 1 的"缓冲器"
把输出直接接回反相端（Rf = 0，Rg 开路），就得到电压跟随器：
Vout = Vin（增益恰好为 1，同相）
代入同相放大公式：Rf = 0 时，增益 = 1 + 0/Rg = 1
它看起来"什么都没做"，但它的价值非常大：
🔌
输入阻抗极高几乎不从信号源吸电流，不会"拖垮"前级电路🔋
输出阻抗极低能够带动较大的负载（如扬声器、低阻值电阻）而电压基本不变🧱
隔离前后级把一个高内阻的信号（如分压器）变成能驱动后级的"强信号"
类比：电压跟随器就像一个"电压复印机"：它不改变信号的大小，但把信号"复制"到一个能力更强的通道上。前级的信号源可以很弱，后级的负载可以很重，中间的跟随器负责两边互不干扰。
一个典型应用错误：用一个 100 kΩ 的分压器给 ADC 供电压，ADC 输入电流稍大，分压就会偏离。只需要在分压器输出后接一个电压跟随器，问题就解决了。
五、反相加法：把几路电压加起来
结构：多路输入 V1、V2、V3……各自通过电阻 R1、R2、R3……接到反相端，Rf 接回输出。
5.1 三步推导
- 负反馈成立。虚短：V− = 0 V（虚地）。
- 虚断：流入反相端的电流之和为零，即 V1/R1 + V2/R2 + … = −Vout/Rf（流进 V− 节点的所有电流，都必须从 Rf 流出）。
- 解出 Vout：
Vout = −( Rf/R1 × V1 + Rf/R2 × V2 + … )
各路电压按各自的比例（Rf/Ri）加权相加，结果取负号（反相）
5.2 例子
Rf = R1 = R2 = 10 kΩ，V1 = 1 V，V2 = 2 V：Vout = −(1 × 1 + 1 × 2) = −3 V。
如果 R2 改为 20 kΩ，V2 的权重减半：Vout = −(1 × 1 + 0.5 × 2) = −2 V。改变电阻，就改变了"各路信号在总和里占的比重"。
应用：音频混音（把麦克风和音乐混在一起）、多路传感器信号的加权求和、模拟计算。如果需要"不反相"的加法，可以在后面再接一个反相放大器，把符号翻回来。
5.3 动手算一算
V1 / V2 当前值-
理论输出-
实际输出（限幅后）-
六、减法（差分放大）：取两个信号的"差"
减法电路的目标是输出 V2 − V1。它需要两个输入同时参与，一个接 V+，一个接 V−，运用叠加原理分别计算它们的贡献。
6.1 最常用的形式（所有电阻配对相等）
取 R1 = R2，Rf = R3（同相端的分压电阻与反馈电阻相等），这时：
Vout = (Rf / R1) × (V2 − V1)
输出正比于两个输入的差。如果 Rf = R1，增益为 1，输出就是 V2 − V1
6.2 为什么叫"差分"？
如果两个输入同时变化同样的量（例如两路都增加 1 V），差值不变，输出也不变。这种"共同的电压"叫做共模，减法电路能把它抑制掉，只放大差值（叫差模）。
类比：想象两个人同时被地震晃动（共模）。他们之间的距离（差模）才是你真正关心的信息。差分电路就像一个只测量"两人距离"的仪器，地震本身被抵消掉了。
6.3 例子：传感器的桥式输出
电阻应变片、热电偶、电桥等传感器，输出的是一个很小的差分电压，而且两端都叠加着较大的共模电压（比如 2.5 V）。用差分放大器，就能只放大那一点点差值，而把共模的 2.5 V 去掉。
6.4 动手算一算
差值 V2 − V1-
理论输出-
实际输出（限幅后）-
七、积分运算：把"变化"变成"累积"
结构：把反馈元件从 Rf 换成电容 C，输入经过电阻 R 接到反相端。
7.1 三步推导
- 负反馈成立，虚地：V− = 0 V。
- 虚断：Vin/R = −C × dVout/dt（流过 R 的电流全部流进电容）。
- 两边积分：
Vout = −(1 / RC) × ∫ Vin dt
输出等于输入对时间的累积，负号表示反相；RC 决定"积累"的快慢
7.2 直观理解：积分器在"数面积"
- 输入是正的恒定电压，输出就会一直向负方向线性下降，直到饱和。
- 输入是零，输出保持不变（电容存着之前的电荷）。
- 输入是方波（正负交替），输出就是三角波：正半周往下积累，负半周往上回来。
类比：积分器就像一个水桶。输入是流进桶里的水流速度，输出是桶里水的多少。水流速度是正的，水就越来越多；水流速度是负的（相当于抽水），水就减少。桶里的水量，就是输入对时间的积累。
7.3 用途
- 信号发生器：方波经积分变成三角波，再经过整形可得到正弦波近似。
- PID 控制：积分项用来消除长期的静态误差。
- 测量：把速度信号积分成位置，把电流信号积分成电荷量。
实际的麻烦：理想积分器的直流增益是无穷大，哪怕运放的一点点失调电压，也会让输出慢慢"漂"到饱和。实际电路会在电容上并联一个大电阻（如 1 MΩ），让它有一定的直流负反馈，防止饱和。下面的演示为了突出积分原理，暂时不考虑这个问题。
7.4 动手看波形：方波变三角波
输入是 ±A 的方波，RC 固定为 10 ms（例如 R = 100 kΩ，C = 0.1 μF）。输出为三角波，峰峰值 = A × (半周期) / RC。注意：输出超出 ±12 V 时会被饱和限幅，波形会被"压平"。
半周内输出变化量-
输出峰峰值（理论）-
实际输出-
-
八、微分运算：捕捉"变化的快慢"
结构：把输入电阻换成电容 C，反馈元件仍然是电阻 R。
8.1 三步推导
- 负反馈成立，虚地：V− = 0 V。
- 虚断：流过 C 的电流 = 流过 R 的电流。C × dVin/dt = −Vout/R。
- 整理：
Vout = −RC × dVin/dt
输出正比于输入的变化率（斜率）：变化越快，输出越大；静止不变，输出为零
8.2 直观理解
- 输入是恒定的直流，斜率为零，输出为零。
- 输入是斜坡（匀速上升），斜率恒定，输出是一个恒定的负电压。
- 输入是正弦波，输出是余弦波，幅度与频率成正比（频率越高，输出越大）。
类比：微分器像一个"变化侦探"：它不关心数值多大，只关心数值变得多快。一辆车匀速行驶，它不报警；一旦猛踩油门，它就报警。
8.3 一个重要的警告：微分器对高频噪声非常敏感
因为频率越高，微分输出越大，所以高频噪声会被严重放大，电路容易振荡。实际电路中要在 R 上并联一个小电容，限制高频增益。这就是为什么很多教科书把微分器排在积分器之后讲，并且实际中用得比积分器少。
8.4 动手算一算：正弦输入的输出幅度
对幅度为 A、频率为 f 的正弦输入，输出幅度为 Vo = 2πf × RC × A。下面可以改变 R、C、f 和 A，看输出幅度如何变化。
RC 时间常数-
输出幅度（理论）-
实际输出（限幅后）-
九、电流电压转换：把微弱电流变成电压
有些传感器（光电二极管、离子检测器、电化学传感器）输出的是电流，而单片机 ADC 只能读电压。解决办法是用运放把电流"换"成电压：
结构：电流源接在反相端，Rf 接在反相端和输出之间。同相端接地。
9.1 推导
- 虚地：V− = 0 V。
- 虚断：输入电流 I 全部流过 Rf。
- 于是：Vout = −I × Rf。
Vout = −I × Rf
这种电路叫做"跨阻放大器"（Transimpedance Amplifier），Rf 是它的"跨阻"
9.2 动手拨一拨
例如光电二极管输出 10 μA 电流，Rf = 100 kΩ，则输出电压 = −10 μA × 100 kΩ = −1 V。注意：如果 Rf 选太大，很小的电流也会让输出饱和。
十、其它常见电路：滤波与仪表放大
10.1 有源滤波：运放 + RC 做"筛子"
在运放的反馈网络里加入电容，就得到有源滤波器。它既能放大，又能选频。例如同相放大加一个 RC 低通：
低通截止频率 fc = 1 / (2π × R × C)
例：R = 10 kΩ，C = 10 nF，则 fc = 1/(2π × 10⁴ × 10⁻⁸) ≈ 1.59 kHz。高于 fc 的信号被逐渐衰减
相比无源 RC 滤波，有源滤波不会因为负载而改变特性，还可以同时提供增益。这就是音响、传感器信号调理中常用的方式。
10.2 仪表放大器：精密测量的"标准件"
在测量微弱差分信号（如应变片、心电信号）时，需要的是高输入阻抗、高共模抑制、增益可调的放大器。常见做法是三个运放组合成仪表放大器：前级两个运放做高阻抗输入，后级一个差分放大器做减法。
G = 1 + 2R / Rg
只需要改变一个电阻 Rg，就能调节增益。这是仪表放大器的最大优点
现实中一般直接用集成好的仪表放大器芯片，而不自己搭。学习阶段理解它的结构和增益公式就够了。
10.3 对数与指数：非线性运算
如果把二极管或三极管放在反馈回路里，输出就会与输入的对数或指数有关，用于模拟乘除法、测量分贝、压缩动态范围。这属于非线性运放电路，我们在后面的模拟电路课里再深入。
十一、实际设计的注意事项
11.1 增益带宽积：增益越高，能放的频率越低
真实运放的增益带宽积（GBW）大致是一个常数。闭环增益 G 时，带宽约为：
闭环带宽 BW ≈ GBW / G
例：GBW = 1 MHz 的运放，接成增益 100 倍，带宽只剩 1 MHz / 100 = 10 kHz
11.2 单电源设计：偏置是关键
单电源（如 +5 V）下，信号如果有负半周，就会被运放的 0 V 下限切掉。解决办法是给信号加一个直流偏置，比如把信号的中心抬到 2.5 V（用两个等值电阻分压加到同相端），让信号在 0 ~ 5 V 之间摆动。
11.3 去耦与稳定性
- 电源去耦：运放的正负电源脚，各自靠近芯片放一颗 100 nF 陶瓷电容。
- 反馈电容：如果发现输出振荡，可以在 Rf 上并联一颗几 pF 的小电容，提高稳定性。
- 避免大电容直接接输入：大电容会降低运放的相位裕度，可能引起振荡。
11.4 饱和：最常见的"没算到"
几乎所有运算电路都有输出饱和的风险。设计时必须先算出最坏情况下的理论输出（最大输入、最大增益），确认它在电源范围之内，否则实际输出会被"削平"，结果完全错误。
设计三问：① 理论输出会不会超过电源轨？② 运放的带宽够不够信号的频率？③ 输入共模电压是否在运放允许范围内？三个问题都过关，电路才能稳定可靠。
十三、本节小结
- 同相放大：Vout = (1 + Rf/Rg) × Vin，增益 ≥ 1，输入阻抗高。
- 反相放大：Vout = −(Rf/Rin) × Vin，利用"虚地"，增益可大可小。
- 电压跟随器：增益为 1，用于隔离和缓冲，输入阻抗高、输出阻抗低。
- 反相加法：Vout = −(Rf/R1·V1 + Rf/R2·V2 + …)，按电阻比例加权求和。
- 减法（差分）：Vout = (Rf/R1)(V2 − V1)，抑制共模，只放大差值。
- 积分：Vout = −(1/RC)∫Vin dt，方波变三角波，RC 决定速度。
- 微分：Vout = −RC·dVin/dt，输出正比于变化率，对高频噪声敏感。
- 跨阻：Vout = −I × Rf，把电流变成电压，用于光电、离子等传感器。
- 实际设计要关注 GBW、饱和、单电源偏置和去耦。
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